公司监事在特定情况下有权代表公司提起诉讼。根据《中华人民共和国公司法》第五十三条和第一百五十一条，监事的代表诉讼权主要体现在以下情形：
1. 对董事、高级管理人员提起诉讼：当董事、高级管理人员执行公司职务时违反法律、行政法规或者公司章程的规定，给公司造成损失，而公司董事会或执行董事怠于起诉时，有限责任公司的股东、股份有限公司连续一百八十日以上单独或者合计持有公司百分之一以上股份的股东，可以书面请求监事会或不设监事会的有限责任公司的监事向人民法院提起诉讼。此时，监事会有权为了公司利益，以自己的名义代表公司提起诉讼。
2. 特殊情况下的直接代表：在董事、高级管理人员与公司发生诉讼，或者董事长（执行董事）与公司发生利益冲突时，监事会主席或不设监事会的监事可以依照章程规定代表公司。
监事代表公司诉讼，其法律后果由公司承担。这是监事履行监督职责、维护公司利益的重要法律手段。