持票人将丧失对其前手的追索权，但承兑人（或付款人）的责任可能仍然存在。根据《中华人民共和国票据法》第五十三条规定，见票即付的汇票，自出票日起一个月内向付款人提示付款；定日付款、出票后定期付款或者见票后定期付款的汇票，自到期日起十日内向承兑人提示付款。持票人未按照前款规定期限提示付款的，在作出说明后，承兑人或者付款人仍应当继续对持票人承担付款责任。但根据该法第六十五条，持票人不能出示拒绝证明、退票理由书或者未按照规定期限提供其他合法证明的，丧失对其前手的追索权。但是，承兑人或者付款人仍应当对持票人承担责任。因此，逾期提示付款的主要后果是丧失对出票人、背书人等前手的追索权。但汇票的承兑人（在银行承兑汇票中为承兑银行）作为主债务人，其付款责任并不因持票人逾期提示付款而免除，除非因时效经过而消灭。持票人仍可向承兑人请求付款。