交通事故致人死亡，肇事司机可能构成的刑事责任主要取决于其过错程度和后果：

1. **交通肇事罪**：这是最常见的情形。根据《刑法》第一百三十三条，违反交通运输管理法规，因而发生重大事故，致人重伤、死亡或者使公私财产遭受重大损失的，处三年以下有期徒刑或者拘役。
- **立案标准**：死亡一人或重伤三人以上，且负事故全部或主要责任；或死亡三人以上，负事故同等责任。
- **加重情节**：交通肇事后逃逸的，处三年以上七年以下有期徒刑；因逃逸致人死亡的，处七年以上有期徒刑。

2. **以危险方法危害公共安全罪**：如果司机在道路上故意实施危险行为，如严重醉酒、吸毒后驾驶，或明知车辆严重失控仍驾驶，放任危害结果发生，导致重大伤亡，可能构成此罪（《刑法》第一百一十五条），刑罚更重，最高可判处死刑。

**民事责任**：同时，肇事司机及保险公司需承担死亡赔偿金、丧葬费、被扶养人生活费、精神损害抚慰金等民事赔偿。
**程序**：公安机关侦查后，移送检察院审查起诉，最后由法院审判。积极赔偿并获得被害方谅解，可能作为量刑从轻情节。