根据《中华人民共和国著作权法》第十九条规定，受委托创作的作品，著作权的归属由委托人和受托人通过合同约定。合同未作明确约定或者没有订立合同的，著作权属于受托人（即设计公司）。这意味着，虽然您支付了设计费并获得了Logo的使用目的，但法律上著作权可能仍归设计公司所有。您作为委托人，在约定的使用范围内享有使用作品的权利。但如果您想将该Logo注册为商标，或者进行超出原约定范围的修改、再许可等，可能需要再次获得设计公司的许可。为避免后续纠纷，最佳实践是在委托设计合同中明确约定：“作品著作权（除署名权等人身权外）自作品交付并经委托人验收合格之日起，转让/归属于委托人所有。”或者至少约定委托人享有在特定范围内永久、免费的独占使用权。