根据《著作权法》第十九条，受委托创作的作品，著作权的归属由委托人和受托人通过合同约定。合同未作明确约定或者没有订立合同的，著作权属于受托人（即设计公司）。这是一个非常重要的法律原则。虽然你们支付了费用，但如果没有合同明确约定著作权（特别是财产权，如复制、发行、修改权）归委托方所有，那么设计公司仅授予了你们基于委托目的的“使用权”，著作权本身仍归设计公司。他们可能有权将该设计再许可给他人，或在其他场合使用。因此，在委托设计、软件开发等合同时，务必在合同中明确约定“作品完成后的知识产权（包括但不限于著作权、专利申请权）全部归委托方所有”，并约定受托方的保密义务和不得再许可的义务。